实验仪器测量数据为什么要估读？误差分析与估读方法详解
为什么实验仪器测量出来的数据要进行估读呢？为什么同一个实验仪器对对象多次测量后取平均值会更靠谱呢？那该死的估读到底该怎么操作呢？问题三连！！！一、误差
把测量值与被测对象的真实值的差值称为测量的误差。
大家都知道估读的原因，因为任何测量都存在误差。要进行测量就必须借助测量工具，而工具的制作本身就允许有一定误差；使用工具的人以及使用工具时的环境与条件，也都会不可避免地带来误差。可以说，很多真实值是根本无法知晓的，测量出来的永远都是不准确的值。有些真实值你是知道的，例如平面上的圆周角是 360 度。然而，你的量角器必然会存在误差，这是无法避免的。所以，不管是谁来了，误差都始终会如影随形，就像以往一样相伴着。
与其为得不到真实值而纠结，不如将精力投入到如何减小误差上。在高中物理的实验中，会遇到两种类型的误差，即大家熟知的系统误差和随机误差。系统误差是在相同条件下进行多次测量时，测量值相较于真实值总是偏大或偏小，或者按照某种规律发生变化。一把未校准的枪以正常的瞄准姿势进行射击，弹着点必然会偏向目标的某一侧，这种情况就是系统误差。
相同条件下进行多次测量时，随机误差表现为测量值与真实值的差值没有规律地变化。数理统计中有个著名的“随机游走”例子，即一个醉汉在广场上毫无意识地行走，他下一步走向哪个方向是根本无法预料的。
这就是一个典型的随机误差的例子
其实这两类误差并非界限分明，在特定条件下二者能够相互转换。例如，当你用一把尺子去测量长度时，如果事先知晓这把尺子存在问题，那么所测量出的结果你必然会将其归为系统误差；倘若你以为这是一把标准尺子，那么测量结果你就会把它当作随机误差（反正结果都偏大或偏小，你也无法知晓）。
在高中物理的实验中，除了仪器自身的问题之外，导致系统误差出现的主要原因就是实验方案。像探究力、加速度和质量关系的方案，电表的内外接法，以及伏安法测电源的电动势与内阻等情况，这种因实验方案导致的系统误差可以通过更换实验方案来解决。而这里只讲述随机误差该如何处理。
二、算术平均值靠谱？
大家都知道，对同一对象进行多次测量，然后取其算术平均值，就能够很好地减小随机误差。然而，在历史上，这个观念曾经备受质疑。这是为什么呢？这需要从对误差的认识说起。
据悉，伽利略首次提出了观测误差，此观测误差即随机误差的意思。他在其著作《关于两个主要世界体系的对话——哥白尼与托勒密的》中写道：
观测都会有误差，误差的来源可以归因于观测者，也可以归因于仪器，还可以归因于观测条件。
观测误差分布在 0 的两侧且是对称的。（由此可看出他说的是随机误差。）
3、小误差比大误差出现得更频繁。
人们认识到了误差，那么观测结果该如何选取呢？在伽利略时代，天文观测开展得很热烈。那些天文界的重要人物认为应该“谨慎地选择观察值”，也就是“择优选择”。因为他们害怕那些不好的观察数据会对好的观察结果产生影响，就如同把不同的东西混合在一起一样。然而，这种做法也遭到了很多质疑，比如设备不同、观测人员的素质不同、观测条件不同，到底谁才是最优秀的呢？
另外，随机误差是不是真的有这样的分布特点？
对于这些疑问，后续有数学家在不断接力进行研究。一直到大 boss 高斯对其作出了最终的定论。
他假设测量中的真实值是 L，即便不知道真实值具体是多少也没关系，接着来看高斯的操作。之后他进行了 n 次独立的观察，并且认为每一个观察值都是相同分布的。这是很容易理解的，因为无法判断每次客观测量值的优劣，所以只能对它们一视同仁，也就是认为它们同分布。
先来看算术平均值是否更好。假设是第 i 个测量值对应的随机误差。由于测量值在真实值附近分布，所以该值会很小，等同于很小。为方便后续计算，考虑平方项。若每次测量都很准，就意味着每个测量值对应的随机误差很小，需考虑。
这表明 E 会取到最小值。通过简单的数学运算，也就是对 E 进行求导并令其等于零，就能够得出真实值。
这就从数学上证明了对多次测量结果取算术平均值的效果要好。
到这里，我们仅仅找到了一种衡量的办法，也就是最小二乘法，从而发现了算术平均值的优点。高斯的贡献在于他找出了随机误差的常见分布特点，那就是大名鼎鼎的正态分布。同时，他还为上述的衡量办法正了名，赋予了它名正言顺的统计意义。
有了理论武器作为保证，测量数据的处理水平得以提升。线性回归是一个重要工具。当大量测量数据呈下图所示分布时，能够找到一条最适合的倾斜直线来契合数据分布的特点。一旦获取到这条倾斜直线的相关信息，就能了解测量数据的本质。
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是不是想起了被描点作图支配的恐惧？
取平均值是不错的，但要是测量结果中存在一些特殊情况怎么办呢？就像上图中的这个红点，它明显与其他数据不同。如果直接将它与其他结果求平均值，结果肯定会有较大偏差。这就如同把富豪的收入和我的收入求平均，那我就会立刻实现财富自由。嘿，别发呆啦，继续工作吧。
遇到这种情况时，如果发现是数据记录有误或者实验条件发生了变化等情况，这就意味着这个数据偏离了群众路线，那么就可以对它进行修正。否则，就需要仔细分析一下是否有新的发现。
三、怎么估读呢？
根据误差理论，读数的表示方式为：
读数的最后一位需与仪器误差的出现位保持对齐。也就是说，仪器误差出现在哪一位，就将读数估读到哪一位。
高中范围内常用的各种仪器，通常以其最小分度值的一半当作最大仪器误差。
刻度尺
这是一种最为常见的厘米刻度尺，它的最小分度是 0.1cm。若按照“半格误差”来进行计算，那么仪器的误差为 0.05cm。由此可知，仪器误差出现的位置是 0.01cm。因为误差的位数比最小分度多一位，也就是最小分度的十分之一，所以这种估读方法被称为十分法估读。这样一来，读数的结果就是以 cm 为单位，小数点后面取两位。例如 1.23cm 和 10.20cm 等。[]
另外，依据有效数字的定义，改变单位不会让测量结果的精度有所改变。也就是说，12.3mm、0.0123m 以及记为 1.23cm 的精度是相同的。
螺旋测微器
螺旋部分的最小分度为 0.01mm。若按照“半格误差”来计算，仪器误差是 0.005mm，仪器误差出现的位置是 0.001mm。显然它属于十分法估读。读数结果是小数后面取三位（以 mm 为单位），例如 2.225mm、5.640mm。最后一位小数是估读的，且是有效的。
弹簧秤
这个弹簧秤的最小分度是 0.05N。若按“半格误差”来计算，仪器误差为 0.025N。因为误差值只取一位有效数字，所以仪器误差出现的位置是 0.01N。由于误差位数是最小分度的五分之一，所以被称为五分法估读。读数结果是小数后面取两位（以 N 为单位），例如 0.32N、1.15N。最后一位小数都是估读的，也是有效的。
这个弹簧秤的最小分度为 0.1N。若按“半格误差”计算，仪器误差是 0.05N，仪器误差出现的位置为 0.01N。此为十分法估读。读数结果小数后面取两位（以 N 为单位），例如 0.32N、1.15N。最后一位小数是估读的，且有效。
对比这两个弹簧秤的读数，它们都显示为 1.15N。上面这个弹簧秤的 5 更为准确，因为它有对应的刻度。而下面的弹簧秤，其 5 是人为大致判断出来的。
电流表
学生常用的电流表有 0—0.6A 和 0—3A 两个量程。0—0.6A 量程对应的最小分度是 0.02A，0—3A 量程对应的最小分度是 0.1A。按照“半格误差”来计算，0—0.6A 量程对应的仪器误差是 0.01A，0—3A 量程对应的仪器误差是 0.05A。所以，相应的仪器误差出现的位置分别是 0.01A 和 0.01A。（关于电流/压表的读数争议，参见文末给出的论文）
对于 0—0.6A 的量程而言，仪器误差的位数是最小分度的二分之一，所以被称作二分法估读。读数的结果是在小数后面取两位（以 A 为单位）。例如 0.31A 以及 0.42A 等。其中最后一位小数均为估读，并且是有效的。
0—3A 量程属于十分法估读。其读数结果是在小数后面取两位（以 A 为单位）。例如 1.01A 和 2.52A 等。最后一位小数是估读的，并且是有效的。
电压表
学生用的电压表常见的有 0—3V 和 0—15V 这两个量程。0—3V 量程对应的最小分度是 0.1V，0—15V 量程对应的最小分度是 0.5V。按照“半格误差”来计算，0—3V 量程对应的仪器误差是 0.05V，0—15V 量程对应的仪器误差是 0.25V。因为误差值只取一位有效数字，所以 0—3V 量程对应的仪器误差出现在 0.01V 位置，0—15V 量程对应的仪器误差出现在 0.1V 位置。（关于电流/压表的读数争议，参见文末给出的论文）
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0—3V 的量程明显是采用十分法进行估读。其读数结果是在小数后面取两位（以 V 为单位）。例如 1.15V 和 2.48V 。最后一位小数均为估读，且是有效的。
对于 0—15V 的量程而言，仪器误差的位数是最小分度的五分之一，因此被称作五分法估读。读数的结果是在小数后面取一位（以 V 为单位）。像 5.1V 以及 10.0V 这样的数值，最后一位小数都是估读出来的，并且是有效的。
同样的道理，多用电表上直流电压（流）档的读数方法是一样的。
多用电表欧姆档
欧姆表（多用电表的欧姆档）的原理使得其刻度呈现不均匀的状态。依据表盘刻度的分布特点，要选择分段来判断仪器误差出现的位数，接着采取对应的估读办法。（该法同样参见文末给出的论文）
0—5Ω 有刻度范围，其最小分度值是 0.5Ω。仪器误差为 0.25Ω，只取一位有效数字，所以仪器误差出现在 0.1Ω 的位置。在此刻度范围内采用五分法估读。读数结果是小数后面取一位（以Ω为单位），例如 3.1Ω、2.5Ω。
在 5 至 20Ω 的刻度范围内，其最小分度值是 1Ω，仪器误差为 0.5Ω，而仪器误差出现在 0.1Ω 处，所以在这一段刻度范围内采用十分法进行估读。读数的结果是小数后面取一位（以Ω为单位），例如 6.4Ω、12.8Ω。
在 20 至 40Ω 的刻度范围内，其最小分度值是 2Ω，仪器误差为 1Ω，且仪器误差出现在 1Ω 处。所以在这一段刻度范围内会使用二分法进行估读。读数结果是以Ω为单位且不取小数，例如 24Ω、36Ω。
再往后，其最小分度值逐渐变大。这也就意味着读数的精度在逐步降低。正因如此，所以就需要进行换挡测量了。
先来看游标卡尺，它是一个比较特殊的存在。它的仪器误差并非是最小分度值的一半。常见的游标卡尺分度值有 0.1mm、0.05mm 和 0.02mm 这几种。按照国家标准，不同分度值所对应的仪器误差分别是 0.1mm、0.05mm 和 0.02mm。仪器误差出现的位置分别是 0.1mm，同时也有 0.01mm，还有 0.01mm。并且分度值和仪器误差出现的位数是相同的。
游标卡尺的估读遵循就近读刻度的原则。即便游标尺上没有任何一条刻度能与主尺刻度完全对齐，也需选择游标尺上与主尺刻度最为接近的那条刻度来进行读数。因为游标卡尺的读数规则为：主尺的准确读数加上对齐条数乘以最小分度值，且对齐条数不像前面常见仪器那样进行估读，所以才会有游标卡尺不需要估读的说法。
以上常见仪器都属于可连续读出数据的情况。机械停表和电阻箱依靠齿轮转动工作，不存在转半格齿轮的情况，它们的读数本身就是不连续的，所以不用估读。
如今因为传感器得到了普及，所以各种电子测量仪器在各个地方都能看到。这些电子测量仪器所显示的数据，已经是经过了数字电路处理之后的了，因此也就不需要再去进行估读了。
四、写在最后
或许再过若干年的发展，现在的学生实验仪器都会实现电子化普及。读数问题将不再被重视，就如同如今算盘的地位那般。然而，对待准确实验数据的态度始终是基本的物理素养，所以不要幻想能够逃避如何正确读数这件事。
参考文献
陈希孺所著的《数理统计学简史》，其出版地为长沙，由湖南教育出版社于 2000 年出版。
费业泰编写了《误差理论与数据处理》这本书。这本书是在 2004 年由机械工业出版社出版的，出版地点在北京。
何志强和王笑君从误差理论的角度来看中学常见测量仪器的估读。他们的研究成果发表在 2014 年的《物理教师》杂志上，该期杂志的卷号是 35。
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