从一元一次、二次方程解法探讨，聊聊一元三次方程怎么解
前几天有几位读者在后台发信息讨论线性代数问题，由于草稿先生当时正忙于期中考试，所以未能及时回复，现在再来回复时发现无法主动给关注的人发信息，要是几位看到这条信息，请再给我发条信息，你们提的问题我已经准备好了，谢谢！现在开启今天的内容。小学阶段学习了一元一次方程的解法，初中阶段学习了一元二次方程，那么一元三次方程要怎样去解决呢？于是借助了不起的B站以及知乎，我又来求取知识了，以下是学习之后的整理归纳，若有不足之处，还请各位大神予以指教，多谢！
准备知识：
一元一次方程的解法：
一元二次方程的解法（实数范围内）：
一元二次方程中的韦达定理（Δ≥0）：
完全立方公式：
立方和公式：
代数基本定理：
任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根，这里n≥1 ，由此能够推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根，重根是按重数计算的 ，简单来讲就是几次方程就有且仅有几个根 。当然这些根中可以存在重根 ，也能够有虚根 。
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在学习数学时，我们常常会碰到一些突然冒出来的、让人摸不着头脑的概念。例如，在引入复数时，会先让你去解这样一个方程：
看到它的解i，-i及i的定义
或许你不清楚这是什么，而且也不晓得这个破方程有何用途。如今草稿先生能够颇为自信地告知你：16世纪的欧洲数学家和你情况相同，同样认为这个东西很怪异。实际上，复数根本不是从这个毫无意义的一元二次方程中引入的！
人类对一元二次方程进行透彻研究后，将目光投向了一元三次方程。复数是在求解一元三次方程的过程中被引入的！
这个一元三次方程课本上不讲解，不过在做题时能够通过混根的方法求解，特别是在做圆锥曲线题的时候，草稿先生好几次碰到瓶颈，都是通过试出一个根来解决问题的。今天要介绍一元三次方程的普通解法。
有一个一元三次方程：
首先为了简化问题，把三次项系数化为1：
（之后不写a≠0了，省事）
这里我们为了方便进行一个换元：
//整个解一元三次方程的过程中要涉及很多次换元
//此处，abcd退出历史舞台
现在让我们画出这个函数的图像，这个函数是随便编的，其图像可能是这样的：
我们很容易察觉到，图像是中心对称图形，其对称中心为某个点A，图像的左边部分经过180°翻转后能够得到右边部分。（注意：A点不一定是图像与x轴的交点！！！）
根据所拥有的知识，在点A（p,……）附近，导数值呈现出先减小后增大的情况（若a＜0，则是先增大后减小），对其进行求导操作后，得到的函数图像大致是这样的：
其中蓝色曲线是绿色曲线的导数，蓝色曲线最低点的横坐标与A相同。若将绿色曲线定义为
那么蓝色曲线就是
https://img1.baidu.com/it/u=2770208795,2186187481&fm=253&fmt=JPEG&app=138&f=JPEG?w=500&h=618
A在这个二次函数的最低点，所以A的横坐标
我们希望把“A点”平移到y轴上，其目的在于让三次方程的研究变得更为简便。
令
根据左加右减原则，把x换成z，把f(x)换成f(z)，这就相当于把原来的图像向右平移了B/3，当然如果B＜0，那实际上是向左平移，不过也可以理解成向右平移负的长度。
//这里可能会有些难理解：我们也可以把原来的函数叫做
只是变量名发生了更换，然而实质并未改变。我们现在对z减去一个数B/3，这就等同于把它向右进行平移 。
（关于为什么左加右减，找初中数学老师）
得到的图像就是橘色线：
现在我们展开原方程：
合并同类项：
再化简：
非常啊！我们会发现二次项成功被消掉了，二次项是影响A点横坐标的元凶，现在得到了一个看起来更友善的方程，再做一步换元：
//此处，BCD退出历史舞台
注意：后面的过程会非常炸裂，请系好安全带
我们把z表示成u+v!
把(u+v)代入并变形：
观察这个式子，有一种很妙的办法使它成立：
z 与(u + v)的乘积是一个固定的数，我们不能对(u + v)进行随意改动，不过因为我们将(u + v)拆分成了 u 和 v，u 和 v 便不再是固定的了，所以我们能够
令
这下就好办多了，只需要解出u和v就可以了，把下式立方得到
u^3和v^3看起来很麻烦，换元成U和V：
回顾前面提到的韦达定理
可以看出U和V都是方程
的解
既然已经降到二次了，就没什么好说的了，直接解方程：
这里U和V谁带正号谁带负号没有关系，因为U和V的地位是完全一样的，我们能够设U带正号。
我们需要的并非U和V，而是u和v，因此要在两边进行开立方根的操作，将1/2单独提取出来，这样看起来会更加美观 。
https://img0.baidu.com/it/u=3264823925,238874278&fm=253&fmt=JPEG&app=138&f=JPEG?w=800&h=1132
所以我们就得到了原方程
的一个解：
但我们记得三次方程是应该有三个根的（依据代数基本定理），另外两个根在哪里呢？经过尝试，我们会发现，剩下的两个根分别是
其中
这个w是方程x^3=1的虚数解（实数解就是1）
要是不相信，能够将z1和z2带回原方程进行验算（此处仅带一个z1）：
因为我们保证
所以此式也等于0，也就证明了z1,z2都是原方程的解。
最后不要忘记把z带回成x，我们的一元三次方程就解完了。
总结一下思路，第一步，将三次项系数化为1，第二步，通过横向平移消除二次项，第三步，通过巧妙的z=u+v解出U和V，进而得到u、v、z0，第四步，得出方程的另外两根z1、z2，第五步，带回x=z - B/3求出x。
但是
这个办法仅能用于理论上解方程，因为在第三步求z0时，需要对一个复数进行开立方根操作，这又会涉及到另一个三次方程，所以倘若有读者真去尝试解方程，最终也无法得出z0 。
但是
有一个好消息，要是在圆曲题里“无意中”得出一个不含参的三次方程，也存在办法，将0，±1至±4代入进行试根，很有可能在这9个数中至少有一个根。一旦试出一个根x0，用长除法除以（x - x0）就能得到一个一元二次方程，接着再求解即可。
在实际生活当中，当人们碰到解三次方程的情况时，通常会借助计算器来无限逼近方程的解，尽管所得到的解不像通过数学方法得出的那般精确，然而对于生活而言却是完全够用的。
小彩蛋：把一元一至三次方程第一步改写一下是这样：
那么就可以合理推测一元四次方程的解法第一步是？
x=z-B/4。事实上这就是解四次方程的第一步。
---喝口水---
现在再次回到复数的问题。为何要说复数是从一元三次方程里引入的呢？
回顾这一步：
这里我们会对判别式
进行开平方，要是Δ是非负数，那就容易处理了；要是Δ是负数，当时欧洲的数学家就会宣称原方程没有解 。
但事实并非如此。自从三次函数的图像被绘制出来后，人们便发现三次函数必定存在实数解（这是奇数次函数的特性），如此一来，数学家们只能令
强行得出一个实数解，此后复数才开始被广泛运用。研究二次方程时未发现复数，原因在于二次函数图像或许与x轴不存在交点，这恰好和数学家们所宣称的原方程无解相契合。
三次函数（绿）的图像，在x等于负无穷时，一定是趋向y等于负无穷的，在x等于正无穷时，一定是趋向y等于正无穷的，依据零点存在性定理，三次方程肯定有实数解。
---喝口茶---
复数存在多种表示方式，例如 z1=a+bi，其中 a 是 z1 的实部，b 是 z1 的虚部 ，或者采用三角表示 z2=r(cosθ+isinθ) ，它们分别表示 ：在复平面上 ，x 轴上为实数 ，y 轴上为纯虚数 ，Z1 对应点为(a,b) ，Z2 点距原点距离是 r ，∠Z2Ox(正)等于 θ 。
对于复数的n次方根，存在一个特别美丽且神奇的算法，先找到它的一个方根，即点z1，然后在复平面上绕O逆时针旋转OZ1，旋转角度为2π/n，每旋转一次所得到的点就是它的下一个方根，旋转n次后便又回到了最开始的点。
本周内容至此结束。写完这篇后，草稿先生内心涌起一种难以言表的激动。数学的美丽是基于知识持续扩充而展现出来的。试想一下，如果没有引入复数，会有如此精彩的复分析吗？要多学习数学，多思考，不断创新。大家共同努力
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