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国赛只剩下 6 天了。今天，小编继续为大家进行总结，这些总结是在国赛中必须要掌握的内容，其中包括机器学习算法。
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学习目标
（1）了解机器学习算法在数学建模中的应用。
（2）掌握机器学习算法中的二分类、多分类、回归、聚类算法。
02
实例演练
1、谈谈你对机器学习算法与数学建模的了解。
机器学习是一门多领域交叉学科，它包含概率论、统计学、计算机科学以及软件工程等领域。机器学习指的是一套工具或方法，利用这套工具和方法，通过使用历史数据对机器进行“训练”，从而使机器“学习”到某种模式或规律，并且建立起能够预测未来结果的模型。机器学习包含两类学习方法。一类是有监督学习，主要用于决策支持。它借助有标识的历史数据来进行训练，目的是实现对新数据标识的预测。有监督学习方法主要包含分类和回归。另一类是无监督学习，主要用于知识发现。它能在历史数据中发现隐藏的模式或内在结构。无监督学习方法主要包含聚类。
近年来，全国赛的题目包含数据。这些数据量总体呈增加趋势。科研界和工业界已积累丰富数据，伴随大数据概念兴起和机器学习技术发展，这些数据需转化为更有意义的知识或模型。所以在建模比赛中，若数据量较大，就有机器学习的用武之地。
2、用二分类算法对数据集进行分析。
以下示例展示了运用所提供的支持向量机模型来进行二分类，并且在图中把支持向量的分布情况给画了出来（在图 1 中，圆圈内的点即为支持向量）
(1)导入数据并处理数据。
%% 支持向量机模型
clc,clear,close all
load % 导入数据集，是自带的数据集
数据类别被分成 3 类。每类植物都有 50 个样本。总共的样本数是 150 个。
% 读取数据集中的两个分类‘' 和 ''
inds 等于取反后的空数组；这用于产生样本标签，其中属于某类的样本类别被设定为 0，而其他类别（逗号分隔的其他类别）的样本类别被设定为 1
% 使用两个维度，即第三列和第四列数据。
X 等于从 meas 数据矩阵中选取第三列和第四列的数据，同时移除前 50 行数据和后 100 行数据。
y 等于 inds；将 inds 中的前 50 行的种类移除，只保留后 50 行的种类。
(y) % ()用于统计数值的个数和频率
运行结果：
下面，我将对这段代码进行详细的分析：
自带的数据集，其数据类别被分为 3 类。每类植物都有 50 个样本，总计 150 个。这是系统自带的.csv 文件，其中包含 5 列数据以及 151 行。第 1 行是项目名称，后面接着是具体的内容，如 5.1,3.5,1.4,0.2 等这样的数据，从第 2 行开始便是这些数据。
load 的意思是将这个文件读入到系统中。运行之后，工作区会生成 2 个文件。meas 是前四列全部数据的矩阵，且不含名称这行；meas 也是最后一列即第五列的数据。
即对中的每个元素与“”进行比较，若一致，那么对应位置的元素即为 1，反之则为 0。若前 50 行是“”就变为 1，若后 100 行不是“”就为 0。inds = ~(,“”);% 进行取反操作后返回的 inds 是一个与大小相同的 array，inds 的元素为 1 或 0。在数据文件的列中是“”的一共有 50 行。再取反，应该就是一列向量，前50项是0，后面100项是1。
X 等于从 meas 数据矩阵中选取第三、四列的数据；meas 数据矩阵的前 50 行数据被移除；meas 数据矩阵的后 100 行数据被移除
y 等于 inds；将 inds 中的前 50 行的种类移除，把后 50 行的种类保留下来。
(y) ; ()用于统计数值的个数和频率
（2）训练SVM模型，并将结果可视化。
%% 使用线性核函数训练SVM模型，并将结果可视化
= (X,y,'',''); % 即核函数
% 查看进行数据划分的支持向量
sv = .;
函数能够按照分类或者分组的方式来绘制离散点，它适用于绘制多个类别的离散样本的分布情况。
hold on
在 sv 矩阵的第一列（sv(:,1)）和第二列（sv(:,2)）上绘制空心圆圈，圆圈大小为 10 。
('','',' ') % 图例
hold off
运行结果：
代码分析：函数能够依据分类或者分组来绘制离散点，这种方式适合用于绘制多个类别的离散样本的分布情况。它是红点与浅蓝点交界相邻的那部分。
3、用多分类算法对数据集进行分析。
多分类问题的处理是以二分类模型为基础的。以下的示例会展示怎样运用 SVM 的二分类模型并且结合相关函数来解决多分类问题。
%% 导入数据集
clc,clear,close all
load
X = meas;
Y = ;
(Y);
创建一个用于二分类的 SVM 模板，并且对分类变量实施标准化处理。
%
t = ( '' , 1); % 对分类变量进行标准化处理
%% 基于SVM二分类模型进行训练并生成多分类模型
Mdl = (X,Y,'',t,...
'',{'','',''})
运行结果如下：
4、用回归算法对数据集进行分析。
回归模型对响应（输出）变量与一个或多个预测变量（输入）变量之间的关系进行了描述。它支持线性、广义线性和非线性回归模型。以下这些示例会展示怎样去训练逻辑回归模型。
逻辑回归
在某一领域中，逻辑回归属于广义线性回归的范围，能够通过运用某种函数来达成逻辑回归模型的训练。
%% 判断不同体重、年龄、性别的人的吸烟概率
clc,clear,close all
load % 导入数据集
dsa = ;
% 指定模型使用的计算公式
% 公式的书写方式符合 , 详情请查看：
Age 加上 1 ，再加上 Sex ，以及 Age 本身 ，还有 Age 与 Sex 的组合 ，以及 Sex 本身 。
% 通过参数''指定''构建逻辑回归模型
mdl = (dsa, , '', '')
运行结果：
5、聚类。
有 5 个销售员，分别是 w1、w2、w3、w4、w5。他们的销售业绩由二维变量（v1，v2）来进行描述。以下是具体情况，接着使用聚类算法将这些销售员进行分类。
聚类意味着在数据中，仅存在数据特征，而需要依据某一特定的标准，把这些数据划分到不同的类别当中。
同样地，如今在一个教室中，所有人都没有明显的标签。现在若要将整个教室的人分为两类，那么可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等诸多角度去进行分析。接下来我们以分层聚类这种方式为例来进行讲解，上述例子源自于《数学建模算法与应用》，其目的是辅助进行说明。通常而言，分层聚类分为两类。一类是自上向下的分裂，也就是先把所有个体当作一个类，接着依据规则逐步将其分裂成多个类；另一类是自下而上的合并，即先把每个个体看作一个类，然后按照规则逐步合并为一个类。所以，分层聚类最终能够得到一个金字塔结构，每一层的类别数量各不相同，我们可以选取所需的类别数量。
解题步骤：
把 5 个人的两种数据当作他们的指标，首先，我们对任意两组数据的距离进行简单定义，即：
与此相对应的是，当某一样本被归为一类之后，若要计算类间距离，就需要一个计算方式。我们将任意两类之间的距离定义为两类中每组数据距离的最小值。
因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
（3）详细分析：
首先，最相近的两组样本是 w1 和 w2，它们之间的距离是 1，因此先把它们聚为一类。
然后，剩下的样本有 w1、w2、w3、w4、w5。我们发现，除了距离 1 之外，最相似的是 w3 和 w4，它们的距离为 2，所以将 w3 和 w4 聚为一类。
然后，剩下的样本有{w1,w2}、{w3,w4}以及 w5。我们发现，除了距离 1 和 2 之外，最相似的是{w1,w2}与{w3,w4}。它们的距离是以 w2 和 w3 的距离为准，距离为 3。所以将这两类聚为一类。
最后，剩下的样本有 w1、w2、w3、w4 和 w5。因为只剩最后两类了，所以最后一类是 {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距是以 w3/w4 与 w5 的距离 4 为准的。
源代码：
%% 编程实现
clc;clear;close all
data 包含了[1,0]、[1,1]、[3,2]、[4,3]、[2,5]这些数据；这些数据是原始数据。
[m, ~] = size(data);
d = (data');%求任意两组数据的距离
d = tril(d);%取下三角区域数据
nd = (d);%去除0元素
nd = (nd);%去除重复元素
for i = 1 : m-1
= min(nd);
[row, col] = find(d == );
提取相似的类别，即进行 label = union(row,col) 的操作。
将类别标签进行转化，转化后的结果为行向量；类别标签为(label, 1, (label))
找到的第 i 次相似样本为：label；
nd(nd == ) = [];%删除已归类的距离
if (nd)%如果没有可分的类就停止
break
end
end
%% 工具箱实现
clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y 等于使用 pdist 函数来计算 data 之间的距离，这里的距离是任意两样本的绝对值距离，并且没有指定具体的距离度量方式。
yc = (y);%将距离转化成对称方阵
z = (y);%生成聚类树
[h, t] = (z);%画出聚类树
n = 3;%最终需要聚成多少类
T 由 z、空字符串 '' 和 n 组成；分析在对 n 类进行划分时，各个样本的标签情况。
for i = 1 : n
label = find(T == i);
label = (label, 1, (label));
输出第 i 类的内容，即 label 。
end
运行结果： |
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发表于 2025-4-21 20:00:00
