Fisher命名与Student's t分布：William Sealy Gosset的笔名背后的故事
命名与源起“t”是被赋予的伟大名字。最早把这一分布命名为“'s ”，并且用“t”来进行标记。
他当年在爱尔兰都柏林的一家酒厂工作，设计出了后来被称作 t 检验的方法，用于评价酒的质量。由于行业机密，酒厂不允许他的工作内容外泄。后来，他将此方法发表到至今仍很著名的一本杂志《》上，便署了 Sealy（戈塞特）的笔名。所以如今很多人只知道 Sealy（戈塞特），知道 t 检验，却不知道他本人。相对来说，我们通常所说的正态分布，在国外更多地被称作高斯分布……如果高斯泉下有知，或许会做出 V 字手势，那可真是欧耶！
看懂概率密度图
这一点对于初学者很重要。有不少人相信，他们对正态分布或者 t 分布的曲线没有确切的理解。
首先，我们看一下频率分布直方图，：
上图中，关键在于横轴。柱高代表着对于横轴上每一个点所发生的频次。图里横轴有 4 处，其发生的次数最多，约为 12 次；接着，横坐标为 10 处时，发生了 1 次……
我们进行单变量的探索性数据分析时，最喜欢使用柱状图。有时还会额外在柱状图上绘制一条曲线（见下图）。这样很容易就能看出数据的分布情况，包括集中趋势和离散趋势。在图中，数据大多集中在 4 附近，这里的 4 既是均数也是众数。并且数据有一点点右偏态，但总体上基本还是正态分布。
下图的手绘曲线，也就是密度曲线，其英文全称是 /Curve。它实际上是对上面柱状图的一种平滑处理，不过它的纵坐标变成了概率，这与柱状图的频次是不同的。但从理解的角度来看，它们的意义大致相近。
以下，我们就用曲线来讲解T分布的特征。
T分布的可视化
我们平常所说的 t 分布，指的是小样本的分布。然而实际上，正态分布能够被看作是 t 分布的一种特殊情况。这意味着，t 分布在大小样本的情况下都是普遍适用的。
之前有读者询问：“样本量大于 30 或者大于 50 时，是否就不能使用 t 分布了呢？”
完全不是这样的！t分布，大小通吃！具体且看下文分解。
相对于正态分布，t分布额外多了一个参数，自由度。自由度
= n - 1。我们先看几个例子，主观感受一下t分布。
= 1 ：红色为t分布；蓝色为正态分布。
= 2 ：红色
= 2，高于
= 1 的绿色，低于正态分布。
= 3 ：红色
= 3，高于
= 1，2 的绿色，低于正态分布。
= 10 ：红色
= 10，高于
= 1~9的绿色，低于正态分布。
可见，随着样本量n / 自由度
随着的增加，t 分布逐渐趋近于正态分布。正态分布，能够被视为仅仅是 t 分布的一个特殊情况。
以上这些部分大家大概都学习过，相信大多数读者都能有所了解。然而在此处，让我们回归到我们的标题（并非标题党）：温良宽厚。
大家仔细对比一下下面这张图。t 分布呈现出钟型曲线的形态，其中间部分比较低，而两侧的尾巴却很高。
这是 t 分布的优势。这个特征十分重要。在百年的时间里，t 分布一直依靠这个特征而存在。
比较一下上图中的两条曲线，我用“宽厚”这个词来形容 t 分布曲线的特征。它比正态分布曲线更宽吗？它比正态分布曲线更厚吗？
大家都说重要的事需重复三遍。现在我们再重复一下：当样本量越小（也就是自由度越小的时候），t 分布的尾部就会越高。
尾部的高度，有十分重要的统计学意义。
我们比较一下下图里的两条曲线。这两条曲线都是对图中底部那 6 个黑色点的数值进行分布拟合。
我们先来看那条矮的且呈正态分布的曲线。前面已提及，正态分布的曲线不具有“宽厚”这一特征。其尾部很低，尾部与横轴之间的高度很“窄”。这意味着正态分布无法容忍其长长的尾部出现大概率的事件（比如图中横轴值为 15 处的一个圆点出现的概率为六分之一），所以正态分布只能无奈地将这一点纳入它的胸膛，而不是让其留在尾部。于是，出现了恶果：图中正态分布的均数偏离了大多数点所在的位置，且偏离很远，标准差也非常大。总之，这与我们所期待的情况不一致。
再来看那条高高的 t 分布曲线。之前我们讲过，t 分布具有“温良宽厚”的特点，它的尾巴很高（在本图中不太明显，可参考上面自由度为 1、2、3 时对应的图片），那高高的长尾使其具备“容人的雅量”。这条 t 分布的曲线很好地捕捉到了数据点的集中趋势，其集中趋势在横坐标 0 附近；同时也很好地捕捉到了数据点的离散趋势，该离散趋势的标准差只是那条正态分布曲线标准差的四分之一。
这是 T 分布盛行的原因，也就是 T 分布被广泛应用于小样本假设检验的原因。即便样本很小，它却强大到能够轻易排除异常值的干扰，并且准确地把握住数据的特征，包括集中趋势和离散趋势。
在统计中，准确捕捉变量的集中趋势和离散趋势具有极为重要的意义，这不是几句话能够说清楚的，简单列举几个例子如下：
研究样本量的估计量比较小。熟悉样本量计算的朋友都清楚，标准差是样本量计算中的一个重要参数。在上例中，我们的 t 分布的标准差仅是正态分布的四分之一，所以我们计算所需的样本量会大幅减少，只需原来的十六分之一，这样就能极大地降低研究经费和工作量。关注“医学统计分析精粹”，若回复关键词“样本量”，便能看到极为便捷的样本量计算工具。
我们将标准差缩小了。那些熟悉假设检验（后续“看图说话”系列文章中会出现）的朋友不难看出，这样一来，我们能更轻易地得到一个有意义的 P 值。
点估计较为准确。若我们需依据一个小样本数据去估计学生的平均身高，那么采用正态分布进行拟合时，极易因受离群异常值的影响而得出错误的估计。
回归时应用 t 分布，能够得到更为稳健的估计量，比如β值或 OR 值，这是我们达成“稳健回归”的一个关键手段。
通过下面一幅图，我们巩固一下t分布的“宽厚”：
与正态分布曲线（矮胖）相比，t 分布有着高高的尾部（本图中不太明显，可查看上面自由度为 1、2、3 时对应的图片）。t 分布能够容忍横轴为 9 处的异常值，从而得到更稳健的集中趋势估计值（均值 1.11），以及更紧凑的离散趋势估计值（标准差 0.15，是正态分布标准差的四分之一）。要知道，我们若只是想通过增加样本量，让标准误（假设检验中使用的参数，标准差除以自由度的平方根）缩减到四分之一，那需要 16 倍的样本量！由此可见，t 分布确实威力无穷！
PS：上述两幅图中的 t 分布曲线与频率学派应用 t 分布的常规套路不同，更像是贝叶斯学派的用法。细心的人可以察觉到，我们所使用的 t 分布的自由度比 n - 1 的自由度计算方法要明显低。这里的自由度是通过最大似然法估计出来的，目的是为了更合适地拟合数据的分布。这与我们平时的用法不一样。不过小编认为，这小小的不同不但没有什么坏处，反而对大家深入理解 t 分布的特征——温良宽厚更有帮助。
掌握了 T 分布的特征，它温良宽厚。这将有助于对本号后续介绍的假设检验和 T 检验有更深入的理解。期待后续文章，记得关注小号哦！
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